量子ゲーム理論（3-1）

古典戦略とナッシュ平衡

それではここから少し系統的にゲーム理論の説明を行っていこう。

この解説ではプレイヤーがアリス（A）、ボブ（B）二名で、それぞれが二つの戦略「０」と「１」を選択肢に持つようなゲームを考える。往々これを略して「２x２ゲーム」と称する。一般的にはこれはAとBの利得マトリクス

プレイヤーが戦略０、１を選択するという「純粋戦略」を

という行ヴェクトルで表してみる。今アリスが戦略０と１を夫々確率 x₀ 、x₁での割合で混合して選択するという「混合戦略」をとるとすると、それはヴェクトル

で表す事ができる。ここでもちろん全確率は１という条件 x₀+ x₁ = 1 を置かねばならない。同様にボブが戦略０と１を夫々確率 y₀ 、y₁の割合で混合して選択する混合戦略 ( y₀+ y₁ = 1) は

で表せる。いま行ヴェクトルに対応する列ヴェクトルを記号 ⁺ で表すとする。例えば

少し考えると、このときにアリスが期待できる利得 Π_A(x, y) は（3.1）の各エントリー A_ij に、対応する事象の起こる確率 x_i y_j をかけてすべての成分を足し合わせればよい事が判る。全く同様にボブが期待できる利得 Π_B(x, y) は B_ij x_i y_j を i, j = 0,1 で足し合わせればよい。これらは上のマトリクスとヴェクトルを使って書くと

である。