| 科目名 |
数学１ |
| 担当教員 |
河野 芳文 |
| 対象学年 |
1年 |
クラス |
学部：自然001 |
| 講義室 |
Ｋ２０３ |
開講学期 |
１学期 |
| 曜日・時限 |
火４,金４ |
単位区分 |
選択 |
| 授業形態 |
一般講義 |
単位数 |
2 |
| 準備事項 |
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| 備考 |
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| 授業の詳細1 |
授業の目的
本学の専門課程の基礎的な理論を学ぶために必要な基礎的数学力を身につける。本授業では微分学の基礎とその応用を学ぶ。
授業の進め方
通常の大学の講義スタイルによる。板書されたことを確実に理解することが重要である。そのためには，予習とともに復習の時間を確保して理解を確実なものにしてほしい。
達成目標
実数，関数および極限に関する基本的な性質を理解する。微分係数の定義とその図形的意味を理解し，いくつかの応用を学ぶ。
一次関数，指数関数，三角関数に対して，６種類の演算（加減乗除，合成，逆）を有限回行って得られる初等関数に対して
１．導関数が具体的に計算できる
２．増減表をかき，極値や最大値・最小値を求め，グラフが描ける
３．その応用として，文章題等が解ける
４．平均値の定理が理解でき，ロピタルの定理を用いて極限値が計算できる
５．テイラー展開の意味を理解し，与えられた関数のテイラー展開が求められる
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| 授業の詳細2 |
授業計画
１．１Qの講義内容の概略と目標
２．数の体系，無限小数展開と実数，関数とその例：
自然数から実数に至る数の拡張の歴史の概略を学び，実数の定義には極限が必要となることを理解する。高校で学んだ関数を復習する。
３．関数の加減乗除，合成関数，逆関数(単調関数の場合だけ)，初等関数：
関数に対する６種類の演算(加減乗除，合成関数，逆関数)について学び，初等関数，即ち，この講義で扱う関数の範囲を定める。初等関数の導関数の計算がこの講義の最重要課題であることを理解する。
４．関数の極限，片側極限，連続性：
微分学の基礎である極限について学ぶ。極限計算のパターンをいくつか認識し，具体的な例が計算できるようにする。後の応用のために，片側極限について学び，極限が存在するための必要十分条件を求める。また関数の連続性を定義し，その基本的な性質をまとめる。
５．微分係数，接線の方程式，導関数：
関数の微分係数を学び，その図形的意味が接線の傾きであることを理解する。この応用として，接線の方程式を求める。さらに接点を変化させることにより，導関数を定義する。微分係数と導関数の違いを正確に理解する。
６．微分法の公式 (関数の六則の導関数)：
関数の六則に対する導関数の公式を学ぶ。多くの例を計算して，これらの公式が身につくようにする。
７．導関数の具体計算：
有理関数，対数関数，指数関数，三角関数の導関数を復習する。また，逆三角関数の導関数を計算する。
８．１～７の理解度の確認(30分程度），応用問題，文章題：
微分可能な関数に対して，グラフが描けること，特に最大，最小が求まることを復習する。また文章題を解くことを通して，自ら独立変数 x および従属変数 y を設定し，これまで学んできた方法を実際の問題に適用する能力を養う。
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| 授業の詳細3 |
９．高階導関数：
高階導関数の定義とその計算法について学ぶ。2, 3回微分してみて，あるいは必要な回数微分して，その法則性を発見するという帰納的感覚を養う。
10．平均値の定理：
微分可能関数の基本的な性質であるロールの定理，平均値の定理を学び，これらの図形的意味を理解する。
11．ロピタルの定理：
平均値の定理の応用としてロピタルの定理を学ぶ。これを用いて極限をいくつか計算する。
12．テイラーの定理，テイラー展開：
平均値の定理のもう一つの応用として，関数の多項式近似に関するテイラーの定理を学ぶ。さらに，誤差が０に収束する条件を求めてテイラー展開を導く。
13．指数関数のテイラー展開，三角関数のテイラー展開：
テイラー展開，特にマクローリン展開の例として，多項式関数，指数関数，対数関数，三角関数の展開の実例を学ぶ。
14. 1Ｑの復習・演習：
ここまで学んできた微分法を復習し、演習を行う。
15．１Ｑの理解度の確認と目標達成度の判定
注意：無遅刻，無欠席を原則とする。講義の後半を演習の時間とすることもある。
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| 授業の詳細4 |
成績評価
中間時の理解度の確認(20点満点)と期末時の目標達成度(100点満点)で評価する。
◆ＡＡ：100点以上
◆Ａ ：80点以上99点以下
◆Ｂ ：70点以上79点以下
◆Ｃ ：60点以上69点以下
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◇テキスト
西本敏彦，微分積分学講義(培風館)
ISBN4-563-00244-5 C3041
◇履修上の注意
この授業を受講するためには高校数学Ⅲの内容をひと通り理解していることが望ましい。
微分積分学１の単位を取得した学生はこの授業を履修できない。 |
| 授業の詳細5 |
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| 授業の詳細6 |
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| 授業の詳細7 |
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| 授業の詳細8 |
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| 授業の詳細9 |
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| 授業の詳細10 |
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