| 科目名 |
情報代数 |
| 担当教員 |
坂本 明雄 |
| 対象学年 |
1年 |
クラス |
学部：専門001 |
| 講義室 |
Ｃ１０２ |
開講学期 |
１学期 |
| 曜日・時限 |
月５,木５ |
単位区分 |
選択 |
| 授業形態 |
一般講義 |
単位数 |
2 |
| 準備事項 |
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| 備考 |
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| 授業の詳細1 |
【 授業の目的 】
◎ 代数学は，数の代わりに文字（記号）を用いて，数の性質や数の計算法則を研究することから始まった数学の一分野である。現代の代数学の対象は，通常の四則演算ができる整数や実数などの数値には限らない。
◎ この授業の目的の一つは，演算が定義された抽象的な要素の集合である『代数系』の概念を理解することである。代数系の概念は情報システムを学んでいく上での理論的な考え方の基本である。
◎ もう一つの目的は，複数の演算をもつ重要な代数系である『ブール代数』の基礎を学ぶことである。ブール代数は論理回路をはじめとするコンピュータのハードウェアのふるまいを記述する数学的な道具（ツール）である。
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| 授業の詳細2 |
【 授業の概要 】
◎ キーワード：集合（set），関係（relation），関数（mapping），代数系（algebraic system），ブール代数（Boolean algebra）
◎ 代数系を理解するために必要となる数学的な道具として，集合・関係・関数といった基礎概念がある。授業の前半は，これらの概念を具体例を通して学習する。
◎ 授業の後半では，半群や群など代数系の抽象的な定義を理解した上で，具体的な例や演習問題を解いて代数系の概念の有用性を習得する。また，ブール代数に関する基本的な用語を学習し，ブール式の具体的な表現手法を理解して，通常の四則演算が定義されている数値の扱いとは異なる代数系の扱い方を身につける。
◎ 数回の『専門科目演習』の時間には，授業中に配付する演習問題を解く練習をする。また，毎回の講義の最後に minute paper でその日の学習内容を復習する。
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| 授業の詳細3 |
【 達成目標 】
◎ 基礎概念：集合演算（和集合，積集合，補集合など），２項関係（直積集合，同値関係，半順序関係など），関数（単射，全射，全単射，逆関数など）について説明することができ，これらの概念を用いた数学的記述を理解できること。
◎ 代数系：集合の上に定義された演算の性質を理解し，その演算の単位元や特定の要素の逆元を求めることができること。また，半群や群についての説明ができ，これらの概念を用いた数学的記述を理解できること。
◎ ブール代数：ブール代数の公理や諸定理を理解し，利用できること。また，ブール式の最小項表現（完全積和形式），最大項表現（完全和積形式）を導くことができること。
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| 授業の詳細4 |
【 授業計画／前半 】
１．『情報代数』で学ぶこと
○ 代数系およびブール代数について，身近な具体例を通してその概要と意義を理解する。
○ 集合とは“もの”の集まりである。集合に関する基本的な用語を学び，集合を用いた数学的記述を理解する。
２．集合演算
○ 和集合や積集合など，集合についてのさまざまな演算を学習する。それぞれの演算について成立する法則から，通常の数値に関する四則演算における法則との類似点と相違点を理解することは重要である。
３．集合の直積と関係の定義
○ 順序対を要素とする二つの集合の直積について理解する。
○ 集合の上で定義される２項関係の概念を学習する。
４．関係の性質
○ ２項関係はグラフや行列を用いて表現することができる。
○ ある種の２項関係において成立する反射性，対称性，推移性などの性質を学ぶ。
５．同値関係と集合の分割
○ 反射的，対称的，かつ推移的である関係を同値関係という。
○ 集合上に定義された同値関係はその集合の分割を導き，逆に，集合の分割から同値関係を導くことができることを理解する。
６．関数
○ 関数は，集合と並んで数学において最も重要かつ便利な概念である。まず，一般的な関数の意味や表記法を学ぶ。
○ 特別な性質を持つ関数として，単射，全射および逆関数について学習する。
７．基礎概念の復習と習熟度確認
○ これまで学んだ，集合・関係・関数という基礎概念について復習する。
＊ 基礎概念を確実に理解できているかどうかを確認する。
＊ 確認内容は，授業に使用するテキストにある演習問題のレベルとする。
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| 授業の詳細5 |
【 授業計画／後半 】
８．代数系
○ 集合の上に演算規則が定められているものを代数系という。通常の数値における四則演算以外にさまざまな演算があることを理解する。
９．半群と群
○ 特別な性質を満足する代数系の最も基本的なものである半群と群について学習する。
10．特殊な群
○ 可換群や巡回群といった，いくつかの特殊な群について学ぶ。
11．ブール代数の公理
○ まず，ブール代数とよばれる代数系が満たすべき公理が示される。ブール代数が集合の演算体系を一般化した代数系であることを理解する。
12．ブール式
○ ブール代数における演算を用いて構成される式をブール式という。ブール式は論理式とも呼ばれ，論理回路のふるまいを記述する数学的な道具（ツール）であることを理解する。
13．ブール式の表現
○ ブール式を表現する二つの標準な方法である最小項表現と最大項表現について学ぶ。
14．代数系とブール代数の復習と習熟度確認
○ これまで学んだ，代数系とブール代数について復習する。
＊ 代数系およびブール代数の概念を確実に理解できているかどうかを確認する。
＊ 確認内容は，授業に使用するテキストにある演習問題のレベルとする。
15．『情報代数』で学んだこと
○ この授業で学んだことを整理する。
○ さらに，各自がこの授業の目標に達しているかどうかを自己点検する。
○ まとめとして課される最終課題についてその概要を理解する。
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| 授業の詳細6 |
【 成績評価 】
◎ 成績は，２回の習熟度確認の結果をもとにして評価する。それぞれの習熟度は，次の４段階のスコアで評価される。
◇ ３： 完全に達成目標をクリアしている
◇ ２： 概ね達成目標をクリアしており，履修したことを証明できる
◇ １： 達成目標をクリアしているとはいえないが，履修したことは認められる
◇ ０： この授業を履修したことが認められない
◎ ２回の習熟度評価スコアの和によって，この授業の成績を次のように評価する。
◆ AA： スコアの和が６であって，最終課題の完成度も高いと認められた場合
◆ Ａ： スコアの和が５または６
◆ Ｂ： スコアの和が３または４
◆ Ｃ： スコアの和が２
◆ Ｆ： スコアの和が１以下
◇テキスト
○『離散数学』（第１章，第２章），牛島 和夫 編著，相 利民・朝廣 雄一 共著（コロナ社，2006）ISBN 4-339-02715-4
○ ブール代数に関しては，授業中に配付する資料を用いて授業を進める
◇参考書
○『離散数学 〜コンピュータサイエンスの基礎数学〜』，S. Lipschutz 著，成嶋 弘 監訳（オーム社，1995）ISBN 4-274-13005-3
◇備 考
○ 履修登録必須科目
○ 高校情報免許取得のための必修科目
○ オフィスアワー： 月曜日9:30〜10:30／Ａ棟４１６室
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