進化ゲームと生態系入門（９a）

係数変化型ロトカ＝ヴォルテラ方程式その一

襲撃強度の函数としての餌と捕食者人口

　前の２つの章（８、９章）も定性的理解では本当は不満足で、本当はどうしても定量的理解が望まれるところです。また数式がだめな人には飛ばしていただく事にして、ちょっと詳しく見ていきます。「餌・捕食者型ロトカ＝ヴォルテラ」をもう一度書くと

　　　　　dx/dt = b x - a x² - R x y
　　　　　dy/dt = -d y + f R x y

ですが、この解の図で渦巻き状の絵の中心の位置 (X,Y) は、そこが不動点である（つまりそこに来たらもう動かない）という条件から dX/dt=0、dy/dt = 0 ですから

　　　　　0 = b - a X - R Y
　　　　　0 = - d + f R X

を得ます。（本当はこれが「不動点」であり、かつ「安定点」であるという条件を求める必要があり、それにはこの「不動点」の周りの「線形化写像」を求め、その解が収束型である条件を求めないといけません。ここではこの手順はまた一段テクニカルなので、これを省いて、ただ b が十分大きいとそれが成り立つとだけ言っておきます。）いま捕食者の襲撃強度 R は、捕食者が自分の都合のいいように調整できると思うことにします。X 、Yともに R の函数

　　　　　X[R] = d/(fR)
　　　　　Y[R] = 1/R - (ad)/(fR²)

と考えると、これは R は Y[R] を最大にするよな値へと変化する、という事になります。その値 R* は捕食者 Y にとっての最適攻撃性を意味し、それは

　　　　　dY[R]/dR | _R* = 0

で求まります。これは具体的に書くと

　　　　　R* = (2ad)/(fb)
　　　　　X* = X[R*] = b/(2a)
　　　　　Y* = Y[R*] = (fb²)/(4ad)

となります。注目すべきなのは X* が「自然人口」 b/a の半分である事です。これを「維持可能最大漁獲量」として海洋学で知られている事実の、数式表現と考える事もできます。