進化ゲームと生態系入門（９b）

係数変化型ロトカ＝ヴォルテラ方程式その二

襲撃強度の函数としての競合者の人口

　式が出てくると困る人は、また飛ばしてください。
前の章と全く同様な考えを競合者系にあてはめてみます。

　　　　　dx/dt = b x - a x² - R x y
　　　　　dy/dt = d y - c y² - S x y

ですが、この解は R および S が十分小さいと右図のような安定な不動点 (X,Y) があります。いま X が R を、 Y が S を自分の都合の良いように調整するとすれば、 dX/dt=0、dy/dt = 0 ですから、 X[R,S] ならびに Y[R,S] は次の式で与えられます。 　　　　　0 = b - a X[R,S] - R Y[R,S] 　　　　　0 = d - c Y[R,S] - S X[R,S]

共通の支配者に服する競合者の人口

　こんどは両競合者が共通の捕食者 Z を持つとします。

　　　　　dx/dt = b x - a x² - R x y - U x z
　　　　　dy/dt = d y - c y² - S x y - V y z
　　　　　dz/dt = -h z +f U x z + f V y z

この不動点 (X、Y、Z) でおのおのが自分のする攻撃性を（ X が R を、Y が S を、そして Z が V および U を）調整できると考えます。Z[V,U] が

　　　　dZ[U,V]/dU |_U*,V* =dZ[U,V]/dV |_U*,V* = 0

で指定される効率点 U*= U*(R,S)、V*= V*(R,S)に到達すると考えると、最終的に X[R,S] ならびに Y[R,S] が与えられますが、その一例が上の右の図です。これをみると、この場合は X は R を、 Y は S を小さくする方が得すから、双方とも攻撃性を抑制して系が安定状態に落ち着きます。