電子講義:生態系の進化ゲーム

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進化ゲームと生態系入門(6c)

ゲームのマトリクス記法とレプリケータ力学

 ここでは混合戦略のゲームはロトカ=ヴォルテラ系に書き直せる事を示します。この章は多分本当に難しいので、普通の人は是非飛ばしてください。
 混合ナッシュ平衡を考えるには、ゲームの「量子力学風」な表現が役に立ちます。いま戦略のチョイスが (M+1) 個あるゲームの利得マトリクス(ゲーム行列)を

     A = {Aij} 、i,j = 0..M

と書くとします。このゲームを、貴方を含む集団(構成人数 N 人)の中で、貴方が相手をランダムにかえながらが繰り返しプレーするとします。貴方がとる戦略をベクトル s で表します。

     s = {s0}{ s1} ...{ sM} ; s0 = 1-s1- ... -sM

これは縦ベクトルのつもりで、転置ベクトルは s+ = {s0, s1, ..., sM} です。貴方がプレーするのは「集団の平均的な戦略を持った個人」で、その人と繰り返しプレーすると考えちゃう事にします。この集団の平均的戦略をベクトル x で表します。

     x = {x0}{x1} ... {xM} ; x0 = 1-x1- ... -xM

すると貴方の期待できる得点は

     Pyou(s,x) = <s|A|x> = s+ A x = Σij si Aij xj = s+ p(A, x)

です。最後の pp(A, x) = A x で定義してます。貴方はこの得点の期待値をあげようと、s をいろいろに変えてつとめるとします。試しに戦略 "i" の確率 si をδsi だけ変えて si +δsi にして見ると、そのときの得点の期待値の変化は

     δ<s|A|x> = ∂<s|A|x>/∂si ・δsi

この変化が大きい程、貴方がその戦略 "i" を採用する確率を増やす、というのはもっともらしい仮定です。いま集団のすべての人が貴方と同様に自分の利益を最大にしようとする、と考えると、上の式で s = x とおいたものが、xi の増加する割合と考えられる筈です。すなわち

     1/xi . dxi/dt = ∂<s|A|x>/∂sis=x = pi(A, x) - p0(A, x)

これを「レプリケーター・力学」っていいます。これをもう少し書き直すと

    dxi/dt = xi . [ bi +Σ'j aij xj ]

で、ここの係数は bi = Ai0 -A00 , aij = Aij -Ai0 -A0j +A00 で、和Σ'j はj = 1..M でとります。これはロトカ=ヴォルテラ方程式のM次元への拡張です。

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