進化ゲームと生態系入門（６e）

安定な不動点、不安定な不動点

　不良中年のうちで数学なれてない人は、もういい加減飽きたと思いますが、ここまで来ちゃったから、最後のテクニカルな障壁に挑戦してみましょう。説明不足なので多分判ってる人以外判らないです。つらいひとは読まなくても大丈夫です。また飛ばしてください。
　
　また、一般的な M = 2 種族のロトカ＝ヴォルテラ方程式にもどります。

　　　　　dx₁/dt = b₁ x₁ + a₁₁ x₁² + a₁₂ x₁ x₂
　　　　　dx₂/dt = b₂ x₂ + a₂₁ x₁ x₂ + a₂₂ x₂²

この方程式の X₁ = 0 でも X₂ = 0 でもない不動点 (X₁, X₂) は次の式

　　　　　0 = b₁ + a₁₁ X₁ + a₁₂ X₂
　　　　　0 = b₂ + a₂₁ X₁ + a₂₂ X₂

で与えられましたが、いま x₁(t), x₂(t) が、これに近い値だとどうでしょう。ためしに

　　　　　x₁ = X₁ + u
　　　　　x₂ + X₂ + v

とかいてみて、元のロトカ＝ヴォルテラにいれてみます。u(t), v(t) は小さいので２乗とかはみんな無視すると

　　　　　du/dt = a₁₁ X₁ u + a₁₂ X₁ v
　　　　　dv/dt = a₂₁ X₂ u + a₂₂ X₂ v

これは線形写像ですが a_ij や X_i の値次第で、時間が経って t が大きくなるときの振る舞いにいくつかのタイプがあります。いまこの話に重要な２つのタイプをあげると

（１）吸収渦巻き型：線形写像の固有値２つとも負のとき（ビエー！）
　　　u(t) --> 0, v(t) --> 0 振動しつつ減少。不動点の周囲は吸収渦巻き。

（２）双曲型：線形写像の固有値２つとも正のとき（ギューン！）
　　　u(t) -->∞, v(t) --> ∞ 発散。不動点に近づいても必ず弾かれる。

前に図でみると、「餌・捕食者」の例は（１）で「競合者」の例は（２）です。