電子講義：生態系の進化ゲーム

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進化ゲームと生態系入門（１０a）

騎士と農民ゲームの技術的詳細

　ここではこの問題をどう解くのか、かなりの難しいことでも判る自信のある人を対象に式で出してみます。追いたい人は（６c）章をもう一度ちゃんと読んで、そこの最後の式をどこかに書き出してください。
　このゲームの利得行列 A 、その転置行列 A+ 、そして戦略ベクトル x を

　
[ 0
0
0]
A= [ b b-a
b-R]
[-d fR-d
-d]
[ 0
b
-d]
A+= [ 0 b-a
fR-d]
[ 0 b-R
-d]
[1-x-y]
x= [ x ]
[ y ]

と書くとします。行列 A から（６c）章の最後の式を使ってリプリケータ力学を計算すると

　　　　　dx/dt = b x - a x2 - R x y
　　　　　dy/dt = -d y + f R x y

になります。つまりこれは只の「餌・捕食者型ロトカ＝ヴォルテラ」です。さて次にこのゲームのルールを利他主義を導入して少し変えます。「利他利得行列」は A の転置行列 A+ で与えられますから、今ゲームのルールが (利己主義)：(利他主義)＝κ：(1-κ)とすると、それは

　　　　　Aκ = κ A + (1-κ) A+

で与えられる行列を利得行列として扱う事を意味します。これをもとに、また（６c）章の最後の式を使ってリプリケータ力学を計算すると

　　　　　dx/dt = (1-κ)b x - a x2 - (1-κ- κf)R x y
　　　　　dy/dt = -(1-κ)d y + (f-κ- κf) R x y

この微分方程式系の安定な固定点は、κの値によって異なります。次の量

　　　　　κ* = (f-ad/bR) / (1+f)

を定義すると、κ > κ* のときは

　　　　　X = (1-κ)/(f-κ- κf)・(d/R)
　　　　　Y = (1-κ)/(1-κ- κf)・{ bR - ad/(f-κ- κf) }/R2

で dX/dt = dY/dt = 0 、かつ安定になりますが、κ < κ* のときはこれは不安定（すなわちこの点の周りの線形か写像が双曲型）になり、そのかわり Y が絶滅した

　　　　　X = (1-κ)b/a
　　　　　Y = 0

が安定になります。この結果を次章で図にして論じます。
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